海伦公式及其证明
由三边求三角形面积：海伦公式及其证明
在几何学习中，计算三角形面积是常见的问题。我们熟知的面积公式多与底和高相关，比如“面积 = 底×高÷2”，但当只知道三角形三条边的长度时，该如何求面积呢？这就需要用到著名的海伦公式。
海伦公式的表达式
海伦公式由古希腊数学家海伦提出，其内容为：若一个三角形的三条边长分别为aaa、bbb、ccc，则该三角形的面积SSS可表示为：
S=p(p−a)(p−b)(p−c)S = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}S=p(p−a)(p−b)(p−c)
其中，ppp为三角形的半周长，即：
p=a+b+c2p = \frac{a + b + c}{2}p=2a+b+c
这个公式的奇妙之处在于，只需知道三边长度，无需测量高或角度，就能直接计算面积，在几何计算和实际问题中都有广泛应用。
海伦公式的证明过程
下面我们通过代数推导结合勾股定理来证明海伦公式。
步骤1：构建辅助线与变量设定
设三角形ABCABCABC的三边分别为BC=aBC = aBC=a，AC=bAC = bAC=b，AB=cAB = cAB=c。过点AAA作BCBCBC的垂线，垂足为DDD，设AD=hAD = hAD=h（即三角形的高），BD=xBD = xBD=x，则DC=a−xDC = a - xDC=a−x。
步骤2：利用勾股定理建立方程
在直角三角形ABDABDABD和直角三角形ACDACDACD中，根据勾股定理可得：
{x2+h2=c2(1)(a−x)2+h2=b2(2)
\begin{cases}
x^2 + h^2 = c^2 & (1)\\
(a - x)^2 + h^2 = b^2 & (2)
\end{cases}
{x2+h2=c2(a−x)2+h2=b2(1)(2)
用方程(2)(2)(2)减去方程(1)(1)(1)，消去h2h^2h2：
(a−x)2−x2=b2−c2
(a - x)^2 - x^2 = b^2 - c^2
(a−x)2−x2=b2−c2
展开并化简：
a2−2ax+x2−x2=b2−c2a2−2ax=b2−c22ax=a2+c2−b2x=a2+c2−b22a
a^2 - 2ax + x^2 - x^2 = b^2 - c^2\\
a^2 - 2ax = b^2 - c^2\\
2ax = a^2 + c^2 - b^2\\
x = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2a}
a2−2ax+x2−x2=b2−c2a2−2ax=b2−c22ax=a2+c2−b2x=2aa2+c2−b2
步骤3：求解高hhh的表达式
将xxx的表达式代入方程(1)(1)(1)，求h2h^2h2：
h2=c2−x2=c2−(a2+c2−b22a)2
h^2 = c^2 - x^2 = c^2 - \left(\frac{a^2 + c^2 - b^2}{2a}\right)^2
h2=c2−x2=c2−(2aa2+c2−b2)2
利用平方差公式m2−n2=(m+n)(m−n)m^2 - n^2 = (m + n)(m - n)m2−n2=(m+n)(m−n)化简：
h2=(c+a2+c2−b22a)(c−a2+c2−b22a)
h^2 = \left(c + \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2a}\right)\left(c - \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2a}\right)
h2=(c+2aa2+c2−b2)(c−2aa2+c2−b2)
通分后整理：
h2=(2ac+a2+c2−b2)(2ac−a2−c2+b2)4a2
h^2 = \frac{(2ac + a^2 + c^2 - b^2)(2ac - a^2 - c^2 + b^2)}{4a^2}
h2=4a2(2ac+a2+c2−b2)(2ac−a2−c2+b2)
分子部分可进一步转化为完全平方的形式：
2ac+a2+c2−b2=(a+c)2−b2=(a+c+b)(a+c−b)
2ac + a^2 + c^2 - b^2 = (a + c)^2 - b^2 = (a + c + b)(a + c - b)
2ac+a2+c2−b2=(a+c)2−b2=(a+c+b)(a+c−b)
2ac−a2−c2+b2=b2−(a−c)2=(b+a−c)(b−a+c)
2ac - a^2 - c^2 + b^2 = b^2 - (a - c)^2 = (b + a - c)(b - a + c)
2ac−a2−c2+b2=b2−(a−c)2=(b+a−c)(b−a+c)
因此：
h2=(a+b+c)(−a+b+c)(a−b+c)(a+b−c)4a2
h^2 = \frac{(a + b + c)(-a + b + c)(a - b + c)(a + b - c)}{4a^2}
h2=4a2(a+b+c)(−a+b+c)(a−b+c)(a+b−c)
步骤4：推导面积公式
三角形面积S=12ahS = \frac{1}{2}ahS=21ah，两边平方得：
S2=14a2h2
S^2 = \frac{1}{4}a^2h^2
S2=41a2h2
将h2h^2h2的表达式代入：
S2=14a2⋅(a+b+c)(−a+b+c)(a−b+c)(a+b−c)4a2
S^2 = \frac{1}{4}a^2 \cdot \frac{(a + b + c)(-a + b + c)(a - b + c)(a + b - c)}{4a^2}
S2=41a2⋅4a2(a+b+c)(−a+b+c)(a−b+c)(a+b−c)
化简后：
S2=(a+b+c)(−a+b+c)(a−b+c)(a+b−c)16
S^2 = \frac{(a + b + c)(-a + b + c)(a - b + c)(a + b - c)}{16}
S2=16(a+b+c)(−a+b+c)(a−b+c)(a+b−c)
由于p=a+b+c2p = \frac{a + b + c}{2}p=2a+b+c，则：
a+b+c=2p−a+b+c=2(p−a)a−b+c=2(p−b)a+b−c=2(p−c)
a + b + c = 2p\\
-a + b + c = 2(p - a)\\
a - b + c = 2(p - b)\\
a + b - c = 2(p - c)
a+b+c=2p−a+b+c=2(p−a)a−b+c=2(p−b)a+b−c=2(p−c)
代入上式可得：
S2=2p⋅2(p−a)⋅2(p−b)⋅2(p−c)16=p(p−a)(p−b)(p−c)
S^2 = \frac{2p \cdot 2(p - a) \cdot 2(p - b) \cdot 2(p - c)}{16} = p(p - a)(p - b)(p - c)
S2=162p⋅2(p−a)⋅2(p−b)⋅2(p−c)=p(p−a)(p−b)(p−c)
两边开平方，即证得海伦公式：
S=p(p−a)(p−b)(p−c)S = \sqrt{p(p - a)(p - b)(p - c)}S=p(p−a)(p−b)(p−c)
应用示例
例如，已知一个三角形的三边分别为3、4、5，其半周长p=3+4+52=6p = \frac{3 + 4 + 5}{2} = 6p=23+4+5=6，根据海伦公式可得面积：
S=6×(6−3)×(6−4)×(6−5)=6×3×2×1=36=6S = \sqrt{6 \times (6 - 3) \times (6 - 4) \times (6 - 5)} = \sqrt{6 \times 3 \times 2 \times 1} = \sqrt{36} = 6S=6×(6−3)×(6−4)×(6−5)=6×3×2×1=36=6
这与我们用“3×4÷2”计算的结果一致，验证了公式的正确性。
海伦公式的证明过程不仅展现了代数运算与几何知识的结合，也让我们感受到数学公式的严谨与优美。掌握这一公式，能让我们在解决三角形面积问题时多一种高效的思路。
海伦公式